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Evolución numérica de espacio-tiempos esféricamente simétricos en relatividad general

Jacobo Israel Palafox González (2009)

Instituto de Física y Matemáticas. Maestría en Ciencias en el Área de Física

This paper presents the evolution of different systems that obey the equations of the General Theory of Relativity. The systems presented in this work are the following: The evolution of a Schwarzschild black hole at Eddington- Finkelstein using the ADM formulation [3]. The evolution of a scalar field minimally coupled to gravity using the modified ADM formulation [5] Both cases correspond to space-times with spherical symmetry, but involve properties that make them different from each other, such as the fact that they use different conditions, or because different artifacts are used to dependent on time. In the case of Schwarzschild's black hole, for example, space-time presents a phenomenon known as Apparent Horizon from the initial time, whereas in the second system a scalar field is inserted, which is evolved by varying its initial parameters to obtain different results, and does not necessarily lead to the formation of an Apparent Horizon, reason for the that the way the two systems are handled is significantly different. The methodology used to construct space-times involves the use of numerical methods, and it is precisely this fact that justifies the examples presented here. First of all, in the cases presented the solutions are constructed from of the 3 + 1 decomposition of the General Relativity, in its version ADM, which involves the evolution of initial data consistent with the Einstein Equations Constructed on an initial space hypersurface. The numerical methods used in all cases correspond to the approximation in finite differences of the equations of evolution and constriction, which involves the discretization of the space-time domain.

En este trabajo se presenta la evolución de distintos sistemas particulares que obedecen las ecuaciones de la Teoría General de la Relatividad. Los sistemas que se presentan en este trabajo son los siguientes: La evolución de un hoyo negro de Schwarzschild en coordenadas de Eddington- Finkelstein usando la formulación ADM [3]. La evolución de un campo escalar mínimamente acoplado a la gravedad usando la formulación ADM modificada [5] Ambos casos corresponden a espacio-tiempos con simetría esférica, pero involucran propiedades que los hacen distintos entre sí, como el hecho de que usan distintas condiciones de norma, o porque se utilizan distintos artificios que permiten la solución dependiente del tiempo. En el caso del agujero negro de Schwarzschild por ejemplo, el espacio-tiempo presenta un fenómeno conocido como Horizonte Aparente desde el tiempo inicial, mientras que en el segundo sistema se inserta un campo escalar, que es evolucionado variando sus parámetros iniciales para obtener distintos resultados, y que no necesariamente lleva a la formación de un Horizonte Aparente, razón por la cual la forma en que se manejan los dos sistemas es significativamente distinta. La metodología utilizada para construir los espacio-tiempos involucra el uso de métodos numéricos, y es justamente este hecho el que justifica los ejemplos presentados aquí. Ante todo, en los casos presentados las soluciones se construyen a partir de la descomposición 3+1 de la Relatividad General, en su versión ADM, lo cual involucra la evolución de datos iniciales consistentes con las Ecuaciones de Einstein construidos en una hipersuperficie espacial inicial. Los métodos numéricos utilizados en todos los casos corresponden a la aproximación en diferencias finitas de las ecuaciones de evolución y de constricción, lo cual implica la discretización del dominio espacio-temporal.

Master thesis

CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA TIERRA IFM-M-2009-0005 Descomposición Hamiltoniana Método